Изменения в методике позволили получить более адекватную бескупонную кривую. Логарифмическая интерполяция и фильтр ликвидности сгладили кривую спот-ставок. При помощи нового тренда мы добились хорошего приближения к спот-ставкам, особенно в коротком сегменте. Протестировав новую методику, мы начинаем ее применение при построении бескупонных кривых для облигаций Москвы, ОФЗ и еврооблигаций РФ.

Общий алгоритм boot-strapping

Построение адекватной кривой доходности остается одной из основных задач финансовой инженерии. Правильно построенная кривая облегчает поиск инструментов с арбитражными возможностями и позволяет корректно рассчитывать спрэды к безрисковым ставкам. Именно поэтому мы продолжаем совершенствовать методику построения бескупонной кривой для российских облигаций.

Напомним общий алгоритм построения бескупонных кривых, который называется boot-strapping. Это итерационный процесс, который позволяет построить бескупонную кривую, используя в расчетах выпуски, начиная с самого короткого и заканчивая выпуском с максимальным сроком обращения

1. Берется самый короткий выпуск. Оптимальным вариантом является облигация, по которой остался лишь один платеж, равный номиналу плюс последний купон. Для него рассчитывается доходность, которая и становится первой известной спот-ставкой. Для более длинных выпусков (с числом невыплаченных купонов два и больше) необходимо оценить самую короткую спот-ставку посредством близких по кредитному качеству инструментов.

2. Далее расчеты происходят со следующей по сроку обращения (не по дюрации) облигацией. Первые платежи дисконтируются по уже известным спот-ставкам. Ставка для последней выплаты, включающей купон и номинал, подбирается так, чтобы сумма дисконтированных платежей была равна рыночной цене облигации с учетом накопленного купонного дохода. Перебирая таким образом все обращающиеся выпуски облигаций, получаем бескупонную кривую.

В новой методике мы улучшили оценку спот-ставок и построили новый тренд

В новой версии бескупонной кривой мы использовали ряд новых приемов. Во-первых, мы усовершенствовали методику оценки спот-ставок для периодов, в которые происходит лишь выплата купонов без погашения облигаций. Во-вторых, мы изменили способ построения тренда, которым сглаживаются спот-ставки. В-третьих, мы перестали использовать неликвидные выпуски для построения бескупонных кривых.

Логарифмическая интерполяция позволяет оценить неизвестные спот-ставки

Основной проблемой при построении бескупонной кривой является неравномерное распределение дат погашения облигаций. А именно, в течение некоторого времени на долговом рынке происходит лишь выплата купонов без погашений например, для облигаций Москвы это происходит в 2009 г. и в 2011-2013 гг., для еврооблигаций РФ – с июля 2018 г. по июнь 2028 г. и т. п.), что затрудняет процесс расчета спот-ставок. В этом случае приходится подбирать не только последнюю спот-ставку, по которой индексируются последний купон и номинал, но и несколько предыдущих. При использовании нашей предыдущей методики в такие периоды случались резкие скачки спот-ставок. Мы решили эту проблему, интерполируя неизвестные спот-ставки логарифмической функцией, позволяющей учитывать такое важное свойство кривой, как ее выпуклость. Мы полагаем, что именно логарифмическая функция является наиболее подходящей для интерполяции недостающих точек. В коротком сегменте кривой доходности она является более выпуклой, а в длинном сегменте форма логарифмической функции приближается к прямой. В отличие от часто используемых для интерполяции кубических сплайнов логарифмическая функция демонстрирует более устойчивые результаты. Таким образом, ближайшие платежи индексируются по уже известным спот-ставкам, а последние несколько выплат – по ставкам, оцененным на основе логарифмической интерполяции:

St = a Logc (t) + b, где:
t – срок до выплаты купона,
St – оценка спот-ставки в момент времени t,
a, b и c – параметры логарифмической функции.

При этом параметры функции (a, b и c) и, следовательно, оцениваемые ею спот-ставки, подбираются таким образом, чтобы сумма всех дисконтированных платежей была равна цене облигации с учетом НКД. Отдельные логарифмические функции строятся для каждой облигации, по которой неизвестны спот-ставки для последних двух и более платежей. Таким образом, мы сглаживаем резкие скачки спот-ставок, наблюдавшиеся в предыдущей версии бескупонной кривой, а также учитываем выпуклую форму кривой доходностей.

Использование двух кривых при построении тренда

Несмотря на интерполяцию спот-ставок логарифмическими функциями, бескупонная кривая чаще всего сохраняет некую неоднородность, что вызвано разным уровнем ликвидности облигаций, используемых для построения кривой. По этой причине мы рассчитываем спрэд корпоративных облигаций не к кривой спот-ставок, а к ее тренду.

Обилие корпоративных выпусков с короткой дюрацией заставляет более внимательно подходить к построению тренда в коротком сегменте. Полиномиальный тренд третьей степени демонстрировал хорошее приближение лишь на среднем и длинном сегментах кривой, заметно завышая при этом короткие спот-ставки. В результате спрэд для краткосрочных инструментов оказывался сильно заниженным. Спрэд выпуска ВымпелКом-Р к облигациям Москвы, рассчитываемый по старой методике, несколько меньше спрэда к усовершенствованной бескупонной кривой. Новая версия тренда представляет собой две совмещенные кривые: логарифмическая (для короткого сегмента) и полином третей степени (для среднего и длинного). Подбор параметров для логарифмического и полиномиального трендов происходит методом наименьших квадратов. Полином третьей степени позволяет хорошо описывать любую форму кривой, включая инверсионную, в чем мы смогли убедиться на примере бескупонной кривой облигаций Москвы (в октябре-декабре 2005 г. доходность выпусков со средней дюрацией в отдельные дни превышала доходность долгосрочных облигаций). Логарифмическая функция наиболее точно описывает короткий сегмент кривой, для которого чаще всего характерна классическая форма кривой доходности, т. е. рост ставок с увеличением срока платежа. Точка соединения составляющих частей итогового тренда зависит от формы кривой доходности и может быть перемещена по кривой для наилучшего приближения тренда к спот-ставкам. Таким образом, изменяя дату точки соединения, можно достаточно точно описывать любую форму кривой доходности. Например, если кривая станет полностью инверсионной (включая короткий сегмент), то точку соединения следует перенести в самое начало кривой (при переносе точки соединения в момент времени t=0 логарифмическая часть исчезнет, и кривая доходностей будет описываться только полиномом). Для классической формы кривой с большим углом наклона точка соединения должна быть перенесена вправо, что сократит часть кривой, описываемой полиномом, либо вообще исключит полиномиальную кривую из построения.

Критерий отбора выпусков для построения бескупонных кривых

Очевидно, что для построения бескупонной кривой следует использовать только ликвидные выпуски. Возможность отследить объем и частоту сделок существует только для рублевых облигаций, торгуемых на ММВБ, поэтому при построении бескупонных кривых ОФЗ и облигаций Москвы мы будем использовать только выпуски, удовлетворяющие критериям достаточной ликвидности. При расчете спот-ставок для суверенных еврооблигаций мы будем учитывать все выпуски, так как отсутствие официальной информации о ходе торгов затрудняет оценку уровня их ликвидности.

Используя результаты торгов на ММВБ за последний месяц, для ОФЗ и облигаций Москвы мы рассчитываем следующие показатели: суммарный объем торгов (с учетом сделок в РПС), общее количество сделок (также с учетом РПС), среднее значение спрэда между котировками спроса и предложения на момент закрытия торгов, а также средний спрэд между лучшими котировками на продажу и на покупку.

Бесспорно, выпуски, с которыми в течение всего месяца не было заключено ни одной сделки, следует исключить из построения бескупонной кривой. Для остальных облигаций необходимо комплексное использование рассчитанных нами показателей для того, чтобы отсечь инструменты с низким уровнем ликвидности. В частности, для выпусков даже с невысоким уровнем ликвидности спрэд между лучшими котировками на продажу и на покупку, как правило, не превышает 1.5%, а максимальный спрэд на момент окончания торгов – 3%. Кроме того, мы полагаем, что выпуски, с которыми в течение месяца было заключено лишь 15 сделок, нельзя считать достаточно ликвидными даже при большом суммарном обороте. Такое сочетание (небольшое количество сделок при значительном суммарном обороте) часто происходит при заключении договорных сделок в виде единичной сделки большим лотом. Таким образом, мы используем для построения бескупонной кривой выпуски со следующими показателями:

средний спрэд между котировками на продажу и на покупку на момент окончания торгов – менее 3%.

Анализ данных показал, что 20 из 45 выпусков не соответствуют критерию достаточной ликвидности.

Общий алгоритм для всех бескупонных кривых доходностей

Протестировав новый алгоритм расчета спот-ставок на облигациях Москвы, мы приняли решение применять улучшенную методику при построении бескупонных кривых для ОФЗ и суверенных еврооблигаций1. Таким образом, все бескупонные кривые приведены к общей методике построения (ранее методика построения бескупонной кривой Москвы отличалась от расчета спот-ставок для ОФЗ и суверенных еврооблигаций).

Как показало тестирование, новая методика позволяет построить более достоверную бескупонную кривую. Логарифмическая интерполяция и исключение из расчетов неликвидных выпусков сглаживают кривую спот-ставок. Усовершенствованный тренд позволяет достичь наилучшего приближения к спот-ставкам, особенно в коротком конце кривой. Благодаря тренду, полученному совмещением двух кривых, появилась возможность корректно рассчитывать спрэды для корпоративных облигаций (при использовании ранее принятой методики спрэды для выпусков с короткой дюрацией были занижены).

комментарий